Алгебра Примеры

$7 x y - \frac{y}{7} = \frac{2}{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (7 x y - \frac{y}{7}) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 x y - \frac{y}{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x y$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$7 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$7 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{1}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y}{7}$ по $x$ равна $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (x y') + 7 y - \frac{1}{7} y'$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$7 x y' - \frac{1}{7} y' + 7 y$

Этап 2.4.3

Объединим $y'$ и $\frac{1}{7}$ .

$7 x y' - \frac{y'}{7} + 7 y$

Этап 2.4.4

Чтобы записать $7 x y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$7 x y' \cdot \frac{7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Этап 2.4.5

Объединим $7 x y'$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7 x y' \cdot 7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Этап 2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 x y' \cdot 7 - y'}{7} + 7 y$

Этап 2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Вынесем множитель $y'$ из $7 x y' \cdot 7 - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $7 x y' \cdot 7$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7) - y'}{7} + 7 y$

Этап 2.4.7.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1}{7} + 7 y$

Этап 2.4.7.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7 - 1)}{7} + 7 y$

Этап 2.4.7.2

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y$

Этап 2.4.8

Чтобы записать $7 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y \cdot \frac{7}{7}$

Этап 2.4.9

Объединим $7 y$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + \frac{7 y \cdot 7}{7}$

Этап 2.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y' (49 x - 1) + 7 y \cdot 7}{7}$

Этап 2.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y' (49 x) + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Этап 2.4.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{49 y' x + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Этап 2.4.11.3

Перенесем $- 1$ влево от $y'$ .

$\frac{49 y' x - 1 \cdot y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Этап 2.4.11.4

Перепишем $- 1 y'$ в виде $- y'$ .

$\frac{49 y' x - y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Этап 2.4.11.5

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$

Этап 2.4.12

Изменим порядок множителей в $\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$ .

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} = - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $7$ .

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$49 x y' - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Этап 5.2.1.1.2

Перенесем $x$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - 7 \frac{2}{x^{2}}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Объединим $- 7$ и $\frac{2}{x^{2}}$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 7 \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 5.2.2.1.1.3

Умножим $- 7$ на $2$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 14}{x^{2}}$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{14}{x^{2}}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $49 y$ из обеих частей уравнения.

$49 y' x - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $49 y' x - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $49 y' x$ .

$y' (49 x) - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (49 x) + y' \cdot - 1 = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (49 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ на $49 x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ на $49 x - 1$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $49 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{14}{x^{2}} \cdot \frac{1}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{49 x - 1}$ на $\frac{14}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Этап 5.3.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1}$

Этап 5.3.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{49 y}{49 x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.3

Умножим $\frac{49 y}{49 x - 1}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 14 - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.5

Вынесем множитель $7$ из $- 14 - 49 y x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

Вынесем множитель $7$ из $- 14$ .

$y' = \frac{7 (- 2) - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.5.2

Вынесем множитель $7$ из $- 49 y x^{2}$ .

$y' = \frac{7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.5.3

Вынесем множитель $7$ из $7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})$ .

$y' = \frac{7 (- 2 - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.6

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 y x^{2}$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - (7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (7 y x^{2})$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2 + 7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Этап 5.3.3.3.9.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$ .

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$