Алгебра Примеры

$y = x \sqrt{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d y} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Этап 4.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 4.8

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x'$

Этап 4.9

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x'$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = 1$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Объединим.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} x')}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} x')}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{3} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} x'}{3} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.5.1

Разделим $x^{\frac{1}{2}} x'$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} x' = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.5.2

Изменим порядок множителей в $x^{\frac{1}{2}} x'$ .

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

Этап 6.4

Разделим каждый член $x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $x' x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.4.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{\frac{2}{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x' = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.4.3.2

Объединим.

$x' = \frac{2 \cdot 1}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.4.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$x' = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$