Алгебра Примеры

${(3 + 4 i)}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3)}^{4 - k} \cdot {(4 i)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{4 - 0} \cdot {(4 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{4 - 1} \cdot {(4 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{4 - 2} \cdot {(4 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{4 - 3} \cdot {(4 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3)}^{4 - 4} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим ${(3)}^{4}$ на $1$ .

${(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.3

Применим правило умножения к $4 i$ .

$81 \cdot (4^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.5

Умножим $i^{0}$ на $1$ .

$81 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 \cdot 1 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.7

Умножим $81$ на $1$ .

$81 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 + 4 \cdot 27 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.9

Умножим $4$ на $27$ .

$81 + 108 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.10

Упростим.

$81 + 108 \cdot (4 i) + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.11

Умножим $4$ на $108$ .

$81 + 432 i + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 + 432 i + 6 \cdot 9 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.13

Умножим $6$ на $9$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.14

Применим правило умножения к $4 i$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (4^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.15

Возведем $4$ в степень $2$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 \cdot - 1) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.17

Умножим $54 (16 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Умножим $16$ на $- 1$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot - 16 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.17.2

Умножим $54$ на $- 16$ .

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.18

Найдем экспоненту.

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot 3 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.19

Умножим $4$ на $3$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.20

Применим правило умножения к $4 i$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (4^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.21

Возведем $4$ в степень $3$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.22

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.23

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.24

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.25

Умножим $- 1$ на $64$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (- 64 i) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.26

Умножим $- 64$ на $12$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.27

Умножим ${(3)}^{0}$ на $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.28

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.29

Умножим ${(4 i)}^{4}$ на $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(4 i)}^{4}$

Этап 4.1.30

Применим правило умножения к $4 i$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 4^{4} i^{4}$

Этап 4.1.31

Возведем $4$ в степень $4$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 i^{4}$

Этап 4.1.32

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.32.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(i^{2})}^{2}$

Этап 4.1.32.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(- 1)}^{2}$

Этап 4.1.32.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 \cdot 1$

Этап 4.1.33

Умножим $256$ на $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256$

Этап 4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $864$ из $81$ .

$- 783 + 432 i - 768 i + 256$

Этап 4.2.2

Добавим $- 783$ и $256$ .

$- 527 + 432 i - 768 i$

Этап 4.2.3

Вычтем $768 i$ из $432 i$ .

$- 527 - 336 i$