Алгебра Примеры

$3 x^{2} + y^{2} + 3 x - \frac{21}{4} = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\frac{21}{4}$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} + y^{2} + 3 x = \frac{21}{4}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $3 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = 3$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3^{2}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $4 \cdot 3$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{3}{4}$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $\frac{3}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{3}{4}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4}$ .

$3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4}$

Этап 1.3

Подставим $3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4}$ вместо $3 x^{2} + 3 x$ в уравнение $3 x^{2} + y^{2} + 3 x = \frac{21}{4}$ .

$3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4} + y^{2} = \frac{21}{4}$

Этап 1.4

Перенесем $- \frac{3}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{3}{4}$ к обеим частям.

$3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{21}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 1.5

Упростим $\frac{21}{4} + \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{21 + 3}{4}$

Этап 1.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Добавим $21$ и $3$ .

$3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{24}{4}$

Этап 1.5.2.2

Разделим $24$ на $4$ .

$3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 6$

Этап 1.6

Разделим каждый член на $6$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{3 {(x + \frac{1}{2})}^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Этап 1.7

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{6}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6^{1} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{6 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{6 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{6 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6 - 2^{1}}$

Этап 4.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{6 - 1 \cdot 2}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{6 - 2}$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$\sqrt{4}$

Этап 4.3.3.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Этап 4.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- \frac{1}{2}, 0 + 2)$

Этап 5.3

Упростим.

$(- \frac{1}{2}, 2)$

Этап 5.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 5.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (2))$

Этап 5.6

Упростим.

$(- \frac{1}{2}, - 2)$

Этап 5.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Этап 6