Алгебра Примеры

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} - 2 x + 5$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} - 2 x + 5$ в виде уравнения.

$y = - \frac{1}{5} x^{2} - 2 x + 5$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x + 5$

Этап 2.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{5} - 2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = - 2$

$c = 5$

Этап 2.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{5})}$

Этап 2.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Этап 2.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{5}}$

Этап 2.2.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 5$

Этап 2.2.3.2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 2.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Этап 2.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{5})}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 5 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Этап 2.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{5}$ .

$e = 5 - \frac{4}{\frac{- 4}{5}}$

Этап 2.2.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 5 - \frac{4}{- \frac{4}{5}}$

Этап 2.2.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 5 - (4 (- \frac{5}{4}))$

Этап 2.2.4.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$e = 5 - (4 (\frac{- 5}{4}))$

Этап 2.2.4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$e = 5 - (4 (\frac{- 5}{4}))$

Этап 2.2.4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$e = 5 - - 5$

Этап 2.2.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$e = 5 + 5$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $5$ и $5$ .

$e = 10$

Этап 2.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 10$ .

$- \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 10$

Этап 2.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2} + 10$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$h = - 5$

$k = 10$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 5, 10)$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Этап 6.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Этап 6.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Этап 6.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Этап 6.3.4

Умножим $\frac{5}{4}$ на $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 5, \frac{35}{4})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 5$

Этап 9