Алгебра Примеры

$x y^{3} + x y = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x y^{3} + x y) = \frac{d}{d y} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y^{3} + x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + y^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x (3 y^{2}) + y^{3} x' + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 x y^{2} + y^{3} x' + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$3 x y^{2} + y^{3} x' + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x y^{2} + y^{3} x' + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 x y^{2} + y^{3} x' + x \cdot 1 + y x'$

Этап 2.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$3 x y^{2} + y^{3} x' + x + y x'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} x + y^{3} x' + y x' + x$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} x + y^{3} x' + y x' + x = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} x' + y x' + x = - 3 y^{2} x$

Этап 5.1.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} x' + y x' = - 3 y^{2} x - x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y x'$ из $y^{3} x' + y x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y x'$ из $y^{3} x'$ .

$y x' y^{2} + y x' = - 3 y^{2} x - x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y x'$ из $y x'$ .

$y x' y^{2} + y x' \cdot 1 = - 3 y^{2} x - x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y x'$ из $y x' y^{2} + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y^{2} + 1) = - 3 y^{2} x - x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y x' (y^{2} + 1) = - 3 y^{2} x - x$ на $y (y^{2} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y x' (y^{2} + 1) = - 3 y^{2} x - x$ на $y (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y x' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 3 y^{2} x}{y (y^{2} + 1)} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 3 y^{2} x}{y (y^{2} + 1)} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 3 y^{2} x}{y (y^{2} + 1)} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 3 y^{2} x}{y (y^{2} + 1)} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2} x}{y (y^{2} + 1)} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y^{2} x$ .

$x' = \frac{y (- 3 y x)}{y (y^{2} + 1)} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{y (- 3 y x)}{y (y^{2} + 1)} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- 3 y x}{y^{2} + 1} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{3 y x}{y^{2} + 1} + \frac{- x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{3 y x}{y^{2} + 1} - \frac{x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{3 y x}{y^{2} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$x' = - \frac{3 y x}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y^{2} + 1) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{3 y x}{y^{2} + 1}$ на $\frac{y}{y}$ .

$x' = - \frac{3 y x y}{(y^{2} + 1) y} - \frac{x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(y^{2} + 1) y$ .

$x' = - \frac{3 y x y}{y (y^{2} + 1)} - \frac{x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 3 y x y - x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 y x y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 y x y$ .

$x' = \frac{x (- 3 y \cdot y) - x}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x' = \frac{x (- 3 y \cdot y) + x \cdot - 1}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 y \cdot y) + x \cdot - 1$ .

$x' = \frac{x (- 3 y \cdot y - 1)}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1

Перенесем $y$ .

$x' = \frac{x (- 3 (y \cdot y) - 1)}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.5.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x' = \frac{x (- 3 y^{2} - 1)}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{x (- (3 y^{2}) - 1)}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x' = \frac{x (- (3 y^{2}) - 1 (1))}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - 1 (1)$ .

$x' = \frac{x (- (3 y^{2} + 1))}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.4.1

Перепишем $- (3 y^{2} + 1)$ в виде $- 1 (3 y^{2} + 1)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (3 y^{2} + 1))}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x (3 y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (3 y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)}$