Алгебра Примеры

$2 y^{2} = \frac{5 x - 3}{5 x + 3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (2 y^{2}) = \frac{d}{d y} (\frac{5 x - 3}{5 x + 3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 y)$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 5 x - 3$ и $g (y) = 5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) \frac{d}{d y} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $5 x - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{(5 x + 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 x$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $5 x'$ и $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x') - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Перенесем $5$ влево от $5 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 3) x' - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $5 x + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 x$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + 0)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $5 x'$ и $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x')}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 (5 x) + 5 \cdot 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' + (- 5 (5 x) - 5 \cdot - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Объединим противоположные члены в $5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1.1

Вычтем $5 (5 x) x'$ из $5 (5 x) x'$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' + 0 - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.5.1.2

Добавим $5 \cdot 3 x'$ и $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.2.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.5.2.2

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$\frac{15 x' + 15 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11.5.3

Добавим $15 x'$ и $15 x'$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 y = \frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$

Этап 5.2

Умножим обе части на ${(5 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель ${(5 x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Этап 5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ на $30$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ на $30$ .

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y {(5 x + 3)}^{2}$ .

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{30}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 (15)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 \cdot 15}$

Этап 5.4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$