Алгебра Примеры

$y = x^{2} \sqrt{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Этап 4.1.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.7

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$