Алгебра Примеры

$y = \ln (\frac{x^{4}}{x + 3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x^{4}}{x + 3}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x^{4}}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{4}}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Этап 3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Этап 3.3

Умножим $\frac{x + 3}{x^{4}}$ на $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Перенесем $4$ влево от $x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 \cdot (x + 3) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.3

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.6.3

Умножим $\frac{x + 3}{x^{4}}$ на $\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{x^{4} {(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $x^{4} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x + 4 \cdot 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Этап 3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.4.1.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.4.1.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.4.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.4.2

Вычтем $x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.5.1.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.5.2

Перенесем $3$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Этап 3.7.6

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{4} + 12 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Этап 3.7.6.2

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Этап 3.7.6.3

Вынесем множитель $3 x^{3}$ из $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Этап 3.7.7

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5} + 3 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

Этап 3.7.7.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Этап 3.7.7.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} (x + 3)}$

Этап 3.7.8

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.8.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $3 x^{3} (x + 4)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{4} (x + 3)}$

Этап 3.7.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.8.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Этап 3.7.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Этап 3.7.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$