Алгебра Примеры

$y = (3 - 2 x - x^{2}) e^{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((3 - 2 x - x^{2}) e^{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 - 2 x - x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $3 - 2 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 - (2 x))$

Этап 3.3.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 - 2 x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} (- 2 - 2 x)$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot - 2 + e^{x} (- 2 x)$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $e^{x}$ .

$3 e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 2 \cdot e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Этап 3.4.3.2

Вычтем $2 e^{x}$ из $3 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Этап 3.4.3.3

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $e^{x} (- 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Перенесем $e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

Этап 3.4.3.3.2

Вычтем $2 x e^{x}$ из $- 2 x e^{x}$ .

$- 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$- 4 e^{x} x - e^{x} x^{2} + e^{x}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок множителей в $- 4 e^{x} x - e^{x} x^{2} + e^{x}$ .

$- 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$