Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}}{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}$ и $g (y) = \sqrt{4 x^{4} y^{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 2

Перепишем $\frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}]$ в виде $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $8 x^{6} y^{12}$ в виде ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 3

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{2} y^{4}$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} (4 y^{3})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 x^{2} y^{3}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $8 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 6

Перепишем $\frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]$ в виде $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $4 x^{4} y^{8}$ в виде ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 7

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{2} y^{4}$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}])}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} (4 y^{3}))}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 x^{2} y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 9.2

Изменим порядок множителей в $8 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 \sqrt{4 x^{4} y^{8}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.2

Перепишем $4 x^{4} y^{8}$ в виде ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{8 (2 x^{2} y^{4}) (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{8 (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 x^{2 + 2} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{8 (2 x^{4} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.5

Умножим $y^{4}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.5.1

Перенесем $y^{3}$ .

$\frac{8 (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (2 x^{4} y^{3 + 4}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.5.3

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{8 (2 x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 (x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.7

Перепишем $8 x^{6} y^{12}$ в виде ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - \sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2} y^{4}) (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.9

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.9.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2 + 2} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.9.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.10

Умножим $y^{4}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.10.1

Перенесем $y^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{3 + 4}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.10.3

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 2 (x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.1.12

Умножим $8$ на $- 2$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 16 x^{4} y^{7}}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.1.2

Вычтем $16 x^{4} y^{7}$ из $16 x^{4} y^{7}$ .

$\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Этап 10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$ в виде $\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Перепишем $4 x^{4} y^{8}$ в виде ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{0}{{\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}}^{2}}$

Этап 10.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$

Этап 10.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{0}{{(2 (x^{2} y^{4}))}^{2}}$

Этап 10.2.3

Применим правило умножения к $2 (x^{2} y^{4})$ .

$\frac{0}{2^{2} {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Этап 10.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Этап 10.2.5

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{4 (0)}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Этап 10.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{4 (0)}{4 ({(x^{2} y^{4})}^{2})}$

Этап 10.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Этап 10.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{{(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{0}{{(y^{4} x^{2})}^{2}}$

Этап 10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Применим правило умножения к $y^{4} x^{2}$ .

$\frac{0}{{(y^{4})}^{2} {(x^{2})}^{2}}$

Этап 10.4.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{4 \cdot 2} {(x^{2})}^{2}}$

Этап 10.4.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{0}{y^{8} {(x^{2})}^{2}}$

Этап 10.4.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{2 \cdot 2}}$

Этап 10.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{4}}$

Этап 10.5

Разделим $0$ на $y^{8} x^{4}$ .

$0$