Алгебра Примеры

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x^{4} + 4}$ в виде ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $16$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d y} [65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $65536$ является константой относительно $y$ , производная $65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ по $y$ равна $65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ и $g (y) = 4 x^{4} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x^{4} + 4$ .

$65536 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x^{4} + 4$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$65536 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.9

Перенесем ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$65536 (\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $65536$ .

$\frac{65536}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.11

Вынесем множитель $2$ из $65536$ .

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 32768}{2 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

Этап 4.13

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

По правилу суммы производная $4 x^{4} + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 4.13.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x^{4}$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x^{4}]$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 4.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 4.14.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 4.14.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 4.15

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 (x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 4.16

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 4.17

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + 0)$

Этап 4.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Добавим $16 x^{3} x'$ и $0$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x')$

Этап 4.18.2

Объединим $16$ и $\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{16 \cdot 32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

Этап 4.18.3

Умножим $16$ на $32768$ .

$\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

Этап 4.18.4

Объединим $x^{3}$ и $\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x'$

Этап 4.18.5

Объединим $\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x'$ .

$\frac{x^{3} \cdot 524288 x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.18.6

Перенесем $524288$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Этап 6.2

Умножим обе части на ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$524288 x^{3} x' = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4

Разделим каждый член $524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ на $524288 x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ на $524288 x^{3}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $524288$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Этап 6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Этап 6.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$