Алгебра Примеры

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt[3]{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$.

Перепишем ${\displaystyle {(x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}^2}$ в виде ${\displaystyle (x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})(x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}$.

Развернем ${\displaystyle (x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})(x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}$, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Упростим и объединим подобные члены.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x+2x^{\frac{1}{6}}+\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$ по ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dv}\left[x\right]+\frac{d}{dv}\left[2x^{\frac{1}{6}}\right]+\frac{d}{dv}\left[\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dv}\left[x\right]}$ в виде ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Поскольку ${\displaystyle 2}$ является константой относительно ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$, производная ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{6}}}$ по ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ равна ${\displaystyle 2\frac{d}{dv}\left[x^{\frac{1}{6}}\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dv}\left[f\left(g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\right)g\prime \left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)={x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}^{\frac{1}{6}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)=x}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{5}{6}}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{5}{6}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{6x^{\frac{5}{6}}}}$ и ${\displaystyle 2}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle 2}$.

Сократим общие множители.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dv}\left[x\right]}$ в виде ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{3x^{\frac{5}{6}}}}$ и ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dv}\left[\frac{f\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)}{g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\frac{d}{dv}\left[f\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\right]-f\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\frac{d}{dv}\left[g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\right]}{{g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)=1}$ и ${\displaystyle g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)=x^{\frac{2}{3}}}$.

Продифференцируем, используя правило константы.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dv}\left[f\left(g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)\right)g\prime \left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)={x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}^{\frac{2}{3}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\mathrm{<mo>\prime </mo>}\right)=x}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dv}\left[x\right]}$ в виде ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}}$ и ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{\frac{2x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{3x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}}}}$ в виде произведения.

Умножим ${\displaystyle \frac{2x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{3x^{\frac{1}{3}}}}$ на ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}}$.

Умножим ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$ на ${\displaystyle x^{\frac{4}{3}}}$, сложив экспоненты.

Перепишем уравнение в виде ${\displaystyle x\mathrm{<mo>\prime </mo>}+\frac{x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{3x^{\frac{5}{6}}}-\frac{2x\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{3x^{\frac{5}{3}}}=1}$.