Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ в виде ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 5 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.12

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 1.13

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

Этап 1.14

Добавим $2 x - 5$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.2

Умножим $2 x - 5$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 5$ и $g (x) = {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.4

Упростим.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.5.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.5.6.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 5 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.6.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 5 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.11.3

Перенесем ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.12

По правилу суммы производная $x^{2} - 5 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.14

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.16

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.17

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + 0))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.18

Добавим $2 x - 5$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.19

Возведем $2 x - 5$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.20

Возведем $2 x - 5$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.22

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.23

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.24

Чтобы записать $2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.25

Объединим $2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.27

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.28

Умножим ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.28.1

Перенесем ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.28.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.28.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.28.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.28.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.29

Упростим $4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Этап 2.30

Перепишем $\frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5 x + 9})$

Этап 2.31

Умножим $\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 9}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 9)}$

Этап 2.32

Возведем $x^{2} - 5 x + 9$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 ((x^{2} - 5 x + 9) {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.33

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.34

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.34.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.34.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.34.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.35

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.36

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- 5 x) + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.1

Умножим $- 5$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.3

Перепишем ${(2 x - 5)}^{2}$ в виде $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - ((2 x - 5) (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.4

Развернем $(2 x - 5) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 20 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2}) - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.7.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.7.2

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.7.3

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.2.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 0 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2.2

Добавим $- 20 x + 36$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2.3

Добавим $- 20 x$ и $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2.4

Добавим $0$ и $36$ .

$f'' (x) = \frac{36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.3

Вычтем $25$ из $36$ .

$f'' (x) = \frac{11}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ в виде ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 5 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 4.1.10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 4.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 4.1.12

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 4.1.13

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

Этап 4.1.14

Добавим $2 x - 5$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

Этап 4.1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.2

Умножим $2 x - 5$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x - 5 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{5}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{11}{4 {({(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.4

Умножим $- 5 (\frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.1

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.4.2

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.3

Запишем $9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.4

Умножим $\frac{9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.5

Умножим $\frac{9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5

Вычтем $50$ из $25$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{- 25 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.6

Добавим $- 25$ и $36$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{11}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.7

Применим правило умножения к $\frac{11}{4}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 9.1.8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 9.1.8.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Этап 9.1.8.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Этап 9.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $4$ и $\frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Этап 9.2.2

Сократим выражение $\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{11}{\frac{4 (11^{\frac{3}{2}})}{8}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Этап 9.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Этап 9.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{\frac{11^{\frac{3}{2}}}{2}}$

Этап 9.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.4

Умножим $11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Объединим $11$ и $\frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{11 \cdot 2}{11^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.4.2

Умножим $11$ на $2$ .

$\frac{22}{11^{\frac{3}{2}}}$

Этап 10

$x = \frac{5}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Этап 11.2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Этап 11.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Этап 11.2.4

Умножим $- 5 (\frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 5$ на $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9}$

Этап 11.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9}$

Этап 11.2.6

Чтобы записать $- \frac{25}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9}$

Этап 11.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9}$

Этап 11.2.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + 9}$

Этап 11.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 25 \cdot 2}{4} + 9}$

Этап 11.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.9.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 50}{4} + 9}$

Этап 11.2.9.2

Вычтем $50$ из $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9}$

Этап 11.2.10

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 11.2.11

Объединим $9$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}}$

Этап 11.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 9 \cdot 4}{4}}$

Этап 11.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Умножим $9$ на $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 36}{4}}$

Этап 11.2.13.2

Добавим $- 25$ и $36$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{11}{4}}$

Этап 11.2.14

Перепишем $\sqrt{\frac{11}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$

Этап 11.2.15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.15.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 11.2.15.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{2}$

Этап 11.2.16

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{11}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{2}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ .

$(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{11}}{2})$ — локальный минимум

Этап 13