Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - x + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ в виде ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

Этап 1.14

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.2

Умножим $2 x - 1$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 1$ и $g (x) = {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.4

Упростим.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.5.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.5.6.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.6.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.11.3

Перенесем ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.12

По правилу суммы производная $x^{2} - x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.17

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + 0))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.18

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1))}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.19

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.20

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.22

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.23

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.24

Чтобы записать $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.25

Объединим $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.27

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.28

Умножим ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.28.1

Перенесем ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.28.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.28.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.28.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.28.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.29

Упростим $4 {(x^{2} - x + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Этап 2.30

Перепишем $\frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - x + 1})$

Этап 2.31

Умножим $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} - x + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - x + 1)}$

Этап 2.32

Возведем $x^{2} - x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 ((x^{2} - x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.33

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.34

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.34.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.34.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.34.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.35

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.36

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.3

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - ((2 x - 1) (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.4

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.5.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.1.7.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.7.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.1.7.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.37.2.2.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 0 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2.2

Добавим $- 4 x + 4$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2.3

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.2.4

Добавим $0$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.37.2.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ в виде ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

Этап 4.1.14

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

Этап 4.1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.2

Умножим $2 x - 1$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x - 1 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{3}{4 {({(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Запишем ${(\frac{1}{2})}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.2

Умножим $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.3

Умножим $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{4} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.4

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4.6

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.7

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{- 1 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.8

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{3}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.10

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2 \cdot 2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.11

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.1.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.1.12.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 9.1.12.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 9.1.12.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Этап 9.1.12.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Этап 9.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $4$ и $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Этап 9.2.2

Сократим выражение $\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{\frac{4 (3^{\frac{3}{2}})}{8}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Этап 9.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Этап 9.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}}$

Этап 9.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.4

Умножим $3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 11.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 11.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 11.2.4

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1}$

Этап 11.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 1}$

Этап 11.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + 1}$

Этап 11.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1 - 2}{4} + 1}$

Этап 11.2.7

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + 1}$

Этап 11.2.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}}$

Этап 11.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1 + 4}{4}}$

Этап 11.2.10

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 11.2.11

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 11.2.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.12.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 11.2.12.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.13

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \sqrt{x^{2} - x + 1}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ — локальный минимум

Этап 13