Алгебра Примеры

${(- 3 x^{2} + y)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(- 3 x^{2} + y)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $- 3 x^{2}$ и $b$ $y$ в выражение.

$1 {(- 3 x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(- 3 x^{2})}^{5}$ на $1$ .

${(- 3 x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- 3 x^{2}$ .

${(- 3)}^{5} {(x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.3

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$- 243 {(x^{2})}^{5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{2 \cdot 5} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$- 243 x^{10} {(y)}^{0} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 243 x^{10} \cdot 1 + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.6

Умножим $- 243$ на $1$ .

$- 243 x^{10} + 5 {(- 3 x^{2})}^{4} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.7

Применим правило умножения к $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 5 ({(- 3)}^{4} {(x^{2})}^{4}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.8

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$- 243 x^{10} + 5 (81 {(x^{2})}^{4}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.9

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 5 (81 x^{2 \cdot 4}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.9.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- 243 x^{10} + 5 (81 x^{8}) {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.10

Умножим $81$ на $5$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} {(y)}^{1} + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.11

Упростим.

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 {(- 3 x^{2})}^{3} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.12

Применим правило умножения к $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 ({(- 3)}^{3} {(x^{2})}^{3}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.13

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 (- 27 {(x^{2})}^{3}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.14

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 (- 27 x^{2 \cdot 3}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.14.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y + 10 (- 27 x^{6}) {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.15

Умножим $- 27$ на $10$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} {(y)}^{2} + 10 {(- 3 x^{2})}^{2} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 ({(- 3)}^{2} {(x^{2})}^{2}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.17

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 (9 {(x^{2})}^{2}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.18

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 (9 x^{2 \cdot 2}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.18.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 10 (9 x^{4}) {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.19

Умножим $9$ на $10$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} {(y)}^{3} + 5 {(- 3 x^{2})}^{1} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.20

Упростим.

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} + 5 (- 3 x^{2}) {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.21

Умножим $- 3$ на $5$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} {(y)}^{4} + 1 {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.22

Умножим ${(- 3 x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + {(- 3 x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $- 3 x^{2}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + {(- 3)}^{0} {(x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.24

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + 1 {(x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.25

Умножим ${(x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + {(x^{2})}^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.26

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + x^{2 \cdot 0} {(y)}^{5}$

Этап 4.26.2

Умножим $2$ на $0$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + x^{0} {(y)}^{5}$

Этап 4.27

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + 1 {(y)}^{5}$

Этап 4.28

Умножим ${(y)}^{5}$ на $1$ .

$- 243 x^{10} + 405 x^{8} y - 270 x^{6} y^{2} + 90 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + y^{5}$