Алгебра Примеры

$36 x^{4} = 85 x^{2} - 49$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $85 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$36 x^{4} - 85 x^{2} = - 49$

Этап 1.2

Добавим $49$ к обеим частям уравнения.

$36 x^{4} - 85 x^{2} + 49 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$36 {(x^{2})}^{2} - 85 x^{2} + 49 = 0$

Этап 2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$36 u^{2} - 85 u + 49 = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 36 \cdot 49 = 1764$ , а сумма — $b = - 85$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $- 85$ из $- 85 u$ .

$36 u^{2} - 85 u + 49 = 0$

Этап 2.3.1.2

Запишем $- 85$ как $- 36$ плюс $- 49$

$36 u^{2} + (- 36 - 49) u + 49 = 0$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 u^{2} - 36 u - 49 u + 49 = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(36 u^{2} - 36 u) - 49 u + 49 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$36 u (u - 1) - 49 (u - 1) = 0$

Этап 2.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$(u - 1) (36 u - 49) = 0$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (36 x^{2} - 49) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (36 x^{2} - 49) = 0$

Этап 2.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (36 x^{2} - 49) = 0$

Этап 2.7

Перепишем $36 x^{2}$ в виде ${(6 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(6 x)}^{2} - 49) = 0$

Этап 2.8

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(6 x)}^{2} - 7^{2}) = 0$

Этап 2.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 6 x$ и $b = 7$ .

$(x + 1) (x - 1) ((6 x + 7) (6 x - 7)) = 0$

Этап 2.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (6 x + 7) (6 x - 7) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$6 x + 7 = 0$

$6 x - 7 = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Приравняем $6 x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $6 x + 7$ к $0$ .

$6 x + 7 = 0$

Этап 6.2

Решим $6 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$6 x = - 7$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $6 x = - 7$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = - 7$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 7}{6}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 7}{6}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{6}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{6}$

Этап 7

Приравняем $6 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $6 x - 7$ к $0$ .

$6 x - 7 = 0$

Этап 7.2

Решим $6 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 7$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $6 x = 7$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = 7$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{7}{6}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{6}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) (6 x + 7) (6 x - 7) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - \frac{7}{6}, \frac{7}{6}$