Алгебра Примеры

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t) = \csc (t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cot (t)}{\frac{1}{\cos (t)}} + \sin (t)$

Этап 2.2

Выразим $\cot (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (t)}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}} + \sin (t)$

Этап 2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cos (t) + \sin (t)$

Этап 2.4

Запишем $\cos (t)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1} + \sin (t)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим $\cos (t)$ на $1$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cos (t) + \sin (t)$

Этап 2.5.2

Объединим $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ и $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 2.6.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 2.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 2.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 4.2

Чтобы записать $\sin (t)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\sin (t)}$ в виде $\csc (t)$ .

$\csc (t)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t) = \csc (t)$ — тождество