Алгебра Примеры

$y = {(4 x^{2} - 13)}^{- 14}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(4 x^{2} - 13)}^{- 14})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(4 x^{2} - 13)}^{14}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 1$ и $g (y) = {(4 x^{2} - 13)}^{14}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{({(4 x^{2} - 13)}^{14})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{({(4 x^{2} - 13)}^{14})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} - 13)}^{14})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{14 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $14$ на $2$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим ${(4 x^{2} - 13)}^{14}$ на $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.3.4.2

Вычтем $\frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]$ из $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.3.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{14}$ и $g (y) = 4 x^{2} - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x^{2} - 13$ .

$- \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{14}] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 14$ .

$- \frac{14 {u_{1}}^{13} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x^{2} - 13$ .

$- \frac{14 {(4 x^{2} - 13)}^{13} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель ${(4 x^{2} - 13)}^{13}$ и ${(4 x^{2} - 13)}^{28}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель ${(4 x^{2} - 13)}^{13}$ из $14 {(4 x^{2} - 13)}^{13} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]$ .

$- \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{13} (14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Этап 3.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Вынесем множитель ${(4 x^{2} - 13)}^{13}$ из ${(4 x^{2} - 13)}^{28}$ .

$- \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{13} (14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{13} {(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{13} (14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{13} {(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.5.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 13$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 13]$ .

$- \frac{14 (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.5.3

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x^{2}$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$- \frac{14 (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$- \frac{14 (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{14 (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$- \frac{14 (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{14 (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- \frac{14 (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 13$ является константой относительно $y$ , производная $- 13$ относительно $y$ равна $0$ .

$- \frac{14 (8 x x' + 0)}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $8 x x'$ и $0$ .

$- \frac{14 (8 x x')}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 3.10.2

Умножим $8$ на $14$ .

$- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$ .

$- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$ на $1$ .

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = - 1$

Этап 5.3

Умножим обе части на ${(4 x^{2} - 13)}^{15}$ .

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} {(4 x^{2} - 13)}^{15} = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель ${(4 x^{2} - 13)}^{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} {(4 x^{2} - 13)}^{15} = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$

Этап 5.4.1.2

Перепишем это выражение.

$112 x x' = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $112 x x' = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$ на $112 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $112 x x' = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$ на $112 x$ .

$\frac{112 x x'}{112 x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $112$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{112 x x'}{112 x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$