Алгебра Примеры

$\sec (x)$

Этап 1

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2.5

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)$

Этап 2.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 2.9

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

$\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.5

Умножим $\tan^{2} (x)$ на $\tan (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Перенесем $\tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.5.2

Умножим $\tan (x)$ на $\tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.2.8

Добавим $1$ и $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 3.3.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в $2 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Этап 3.4.2

Добавим $2 \sec^{3} (x) \tan (x)$ и $3 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$