Алгебра Примеры

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 6$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d y} (y^{2} + 6)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 u \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\frac{(x + y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x \frac{d}{d y} [x] - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.6

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 y) x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x \cdot x + 2 y x) x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x x' + 2 y x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.5.2

Вычтем $x^{2} x'$ из $2 x^{2} x'$ .

$\frac{1 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.5.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + x^{2} x' + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.7

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + x^{2} x' + 2 x y x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.7.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + x^{2} x' + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} x'$ .

$\frac{x (- x) + x (x x') + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.7.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x y x'$ .

$\frac{x (- x) + x (x x') + x (2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x (x x')$ .

$\frac{x (- x + x x') + x (2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- x + x x') + x (2 y x')$ .

$\frac{x (- x + x x' + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (- (x) + x x' + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.9

Вынесем множитель $- 1$ из $x x'$ .

$\frac{x (- (x) - (- x x') + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- x x')$ .

$\frac{x (- (x - x x') + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.11

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y x'$ .

$\frac{x (- (x - x x') - (- 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x - x x') - (- 2 y x')$ .

$\frac{x (- (x - x x' - 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.13

Перепишем $- (x - x x' - 2 y x')$ в виде $- 1 (x - x x' - 2 y x')$ .

$\frac{x (- 1 (x - x x' - 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $y^{2} + 6$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [6]$

Этап 3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $y$ , производная $6$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 3.4

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 y}{- 1}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 y}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Разделим $\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = \frac{2 y}{- 1}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 y}{- 1}$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 y)$

Этап 5.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 y)$ в виде $- (2 y)$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - (2 y)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - 2 y$

Этап 5.2

Умножим обе части на ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель ${(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x - x x' - 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x (- x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x (- x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - x (x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - x (x x') - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - (x \cdot x) x' - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - x^{2} x' - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.5

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.6

Перенесем $y$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x x' y = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.7

Перенесем $x$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x' x y = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.8

Перенесем $x^{2}$ .

$- x' x^{2} - 2 x' x y + x^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.3.1.9

Изменим порядок $- x' x^{2}$ и $- 2 x' x y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.4

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- 2 y {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = 0 + 0 - 2 y {(x + y)}^{2}$

Этап 5.4.1.2

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y ((x + y) (x + y))$

Этап 5.4.1.3

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x (x + y) + y (x + y))$

Этап 5.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Этап 5.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Этап 5.4.1.4.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Этап 5.4.1.4.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Этап 5.4.1.4.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Этап 5.4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y (2 x y) - 2 y \cdot y^{2}$

Этап 5.4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1.1

Перенесем $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 (y \cdot y) (2 x) - 2 y \cdot y^{2}$

Этап 5.4.1.6.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y \cdot y^{2}$

Этап 5.4.1.6.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 (y^{2} y)$

Этап 5.4.1.6.2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 (y^{2} y^{1})$

Этап 5.4.1.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y^{2 + 1}$

Этап 5.4.1.6.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y^{3}$

Этап 5.4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 \cdot 2 y^{2} x - 2 y^{3}$

Этап 5.4.1.7.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$

Этап 5.4.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x' x y - x' x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $x' x$ из $- 2 x' x y - x' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем множитель $x' x$ из $- 2 x' x y$ .

$x' x (- 2 y) - x' x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $x' x$ из $- x' x^{2}$ .

$x' x (- 2 y) + x' x (- 1 x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $x' x$ из $x' x (- 2 y) + x' x (- 1 x)$ .

$x' x (- 2 y - 1 x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.4.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.4.5

Разделим каждый член $x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$ на $x (- 2 y - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Разделим каждый член $x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$ на $x (- 2 y - x)$ .

$\frac{x' x (- 2 y - x)}{x (- 2 y - x)} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' x (- 2 y - x)}{x (- 2 y - x)} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 y x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- 2 y x)}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x (- 2 y x)}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- 2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2}}{- 2 y - x} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{x (- x)}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{x (- x)}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 2 y x - 4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y x - 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y x$ .

$x' = \frac{2 y (- 1 x) - 4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $- 4 y^{2}$ .

$x' = \frac{2 y (- 1 x) + 2 y (- 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (- 1 x) + 2 y (- 2 y)$ .

$x' = \frac{2 y (- 1 x - 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.3.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.3.2

Сократим общий множитель $- x - 2 y$ и $- 2 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.3.2.1

Изменим порядок членов.

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- x - 2 y} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- x - 2 y} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.3.2.3

Разделим $2 y$ на $1$ .

$x' = 2 y - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.4

Чтобы записать $2 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 2 y - x}{- 2 y - x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y - x)}{- 2 y - x} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y - x) - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y) + 2 y (- x) - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y (- x) - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.6.4.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.6.4.1.1

Перенесем $y$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.6.4.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y^{2} + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.6.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.6.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$

Этап 5.4.5.3.7

Чтобы записать $\frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.4.5.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (- 2 y - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.8.1

Умножим $\frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{(- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{(- 2 y - x) x}$

Этап 5.4.5.3.8.2

Изменим порядок множителей в $(- 2 y - x) x$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{(- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 2 y^{3} + (- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x \cdot x - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.10.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.10.2.1.1

Перенесем $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y (x \cdot x) - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.10.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.10.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.10.2.2.1

Перенесем $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - (x \cdot x)}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.10.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.3.11.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{3}$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3}) - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y^{2} x$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3}) - (4 y^{2} x) - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{3}) - (4 y^{2} x)$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y x^{2}$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - (2 y x^{2}) - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - (2 y x^{2})$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - (x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - (x^{2})$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.8

Перепишем $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})$ в виде $- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y) - x)}$

Этап 5.4.5.3.11.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y) - (x))}$

Этап 5.4.5.3.11.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y) - (x)$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y + x))}$

Этап 5.4.5.3.11.12

Перепишем $- (2 y + x)$ в виде $- 1 (2 y + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 1 (2 y + x))}$

Этап 5.4.5.3.11.13

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 1 (2 y + x))}$

Этап 5.4.5.3.11.14

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2}}{x (2 y + x)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2}}{x (2 y + x)}$