Алгебра Примеры

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = \frac{4}{9}$

Этап 1

Вычтем $\frac{4}{9}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} - \frac{4}{9} = 0$

Этап 2

Упростим $x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} - \frac{4}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} - \frac{4}{9} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{4}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $144$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{16 \cdot 9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Этап 2.4.2

Умножим $16$ на $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Этап 2.4.3

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16} = 0$

Этап 2.4.4

Умножим $9$ на $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4 \cdot 16}{144} = 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9 - 4 \cdot 16}{144} = 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9 - 64}{144} = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $64$ из $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{- 55}{144} = 0$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 3

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \cdot 2 + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \cdot 2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x (x \cdot 2) + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 6.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (x \cdot 2) + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (x \cdot 2) + x \cdot 1}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (x \cdot 2) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x \cdot 2 + 1)}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x (2 x + 1)}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 7

Чтобы записать $\frac{x (2 x + 1)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{72}{72}$ .

$\frac{x (2 x + 1)}{2} \cdot \frac{72}{72} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $144$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{x (2 x + 1)}{2}$ на $\frac{72}{72}$ .

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72}{2 \cdot 72} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $72$ .

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72}{144} - \frac{55}{144} = 0$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x (2 x) + x \cdot 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(2 x \cdot x + x \cdot 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(2 x \cdot x + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(2 (x \cdot x) + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} \cdot 72 + x \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10.6

Умножим $72$ на $2$ .

$\frac{144 x^{2} + x \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Этап 10.7

Перенесем $72$ влево от $x$ .

$\frac{144 x^{2} + 72 x - 55}{144} = 0$

Этап 10.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 144 \cdot - 55 = - 7920$ , а сумма — $b = 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1.1

Вынесем множитель $72$ из $72 x$ .

$\frac{144 x^{2} + 72 (x) - 55}{144} = 0$

Этап 10.8.1.2

Запишем $72$ как $- 60$ плюс $132$

$\frac{144 x^{2} + (- 60 + 132) x - 55}{144} = 0$

Этап 10.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{144 x^{2} - 60 x + 132 x - 55}{144} = 0$

Этап 10.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(144 x^{2} - 60 x) + 132 x - 55}{144} = 0$

Этап 10.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{12 x (12 x - 5) + 11 (12 x - 5)}{144} = 0$

Этап 10.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $12 x - 5$ .

$\frac{(12 x - 5) (12 x + 11)}{144} = 0$

Этап 11

Приравняем числитель к нулю.

$(12 x - 5) (12 x + 11) = 0$

Этап 12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$12 x - 5 = 0$

$12 x + 11 = 0$

Этап 12.2

Приравняем $12 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Приравняем $12 x - 5$ к $0$ .

$12 x - 5 = 0$

Этап 12.2.2

Решим $12 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$12 x = 5$

Этап 12.2.2.2

Разделим каждый член $12 x = 5$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Разделим каждый член $12 x = 5$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{5}{12}$

Этап 12.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{5}{12}$

Этап 12.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{12}$

Этап 12.3

Приравняем $12 x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Приравняем $12 x + 11$ к $0$ .

$12 x + 11 = 0$

Этап 12.3.2

Решим $12 x + 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$12 x = - 11$

Этап 12.3.2.2

Разделим каждый член $12 x = - 11$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.1

Разделим каждый член $12 x = - 11$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 11}{12}$

Этап 12.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 11}{12}$

Этап 12.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 11}{12}$

Этап 12.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{11}{12}$

Этап 12.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(12 x - 5) (12 x + 11) = 0$ верно.

$x = \frac{5}{12}, - \frac{11}{12}$