Алгебра Примеры

${(x^{2} + 1)}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x^{2})}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2

Умножим ${(1)}^{0}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{0 + 1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.2

Упростим $1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4}$ .

${(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x^{8} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{6} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.5

Найдем экспоненту.

$x^{8} + 4 x^{6} \cdot 1 + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.6

Умножим $4$ на $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{4} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.8

Единица в любой степени равна единице.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.9

Умножим $6$ на $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.10

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.11

Единица в любой степени равна единице.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.12

Умножим $4$ на $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.13

Умножим $1$ на ${(1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Перенесем ${(1)}^{4}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{0}$

Этап 4.13.2

Умножим ${(1)}^{4}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Этап 4.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{4 + 1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Этап 4.13.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Этап 4.14

Упростим $1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5}$

Этап 4.15

Единица в любой степени равна единице.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1$