Алгебра Примеры

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2} = 0$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \cos (x) = 2 \cdot \cos (x) \cdot 1$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = \cos (x)$ и $b = 1$ .

${(\cos (x) + 1)}^{2} = 0$

Этап 2

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 3.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 3.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 3.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 3.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$