Алгебра Примеры

$x^{6} e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Этап 2.2.2

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{5} e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 \frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$

Этап 2.3.2

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 2.3.3

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} e^{x}) + 6 (e^{x} (5 x^{4}))$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $5$ на $6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 x^{5} e^{x} + 30 (e^{x} (x^{4}))$

Этап 2.4.2.2

Добавим $e^{x} (6 x^{5})$ и $6 x^{5} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} + 30 e^{x} x^{4}$

Этап 2.4.2.2.2

Добавим $6 x^{5} e^{x}$ и $6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 12 x^{5} e^{x} + 30 e^{x} x^{4}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{6} + 12 e^{x} x^{5} + 30 e^{x} x^{4}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{6} + 12 e^{x} x^{5} + 30 e^{x} x^{4}$ .

$f'' (x) = x^{6} e^{x} + 12 x^{5} e^{x} + 30 x^{4} e^{x}$