Алгебра Примеры

$x y^{6} - y = x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y^{6} - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y^{6}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.4

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

Этап 3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x'$ из обеих частей уравнения.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $6 y^{5} x$ из обеих частей уравнения.

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $y^{6} x' - x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $y^{6} x'$ .

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $- x'$ .

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' y^{6} + x' \cdot - 1$ .

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.4

Перепишем $y^{6}$ в виде ${(y^{2})}^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.5

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = y^{2}$ и $b = 1$ .

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.7.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.7.1.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.8

Единица в любой степени равна единице.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Этап 5.9

Разделим каждый член $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ на $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Разделим каждый член $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ на $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.9.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.2.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.9.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.2.3

Сократим общий множитель ${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.1.2

Перепишем $y^{4} + y^{2} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.2.1

Перепишем средний член.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.1.2.2

Переставляем члены.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.1.2.3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.1.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y^{2} + 1$ и $b = y$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.2.5.1

Изменим порядок членов.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.1.2.5.2

Изменим порядок членов.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.3.2

Перепишем $y^{4} + y^{2} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.3.2.1

Перепишем средний член.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

Этап 5.9.3.1.3.2.2

Переставляем члены.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

Этап 5.9.3.1.3.2.3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

Этап 5.9.3.1.3.2.4

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

Этап 5.9.3.1.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.3.2.5.1

Изменим порядок членов.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

Этап 5.9.3.1.3.2.5.2

Изменим порядок членов.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$