Алгебра Примеры

$x = y^{2} - 5 y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 5 y = x$ .

$y^{2} - 5 y = x$

Этап 2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 5 y - x = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Этап 6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Этап 7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Этап 9

Поменяем переменные местами. Составим уравнение для каждого выражения.

$x = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2}, x = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 y}}{2}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$

Этап 10.2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Упростим $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 10.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 + \sqrt{25 + 4 y} = x \cdot 2$

Этап 10.3.1.1.2

Изменим порядок $25$ и $4 y$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = x \cdot 2$

Этап 10.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = 2 x$

Этап 10.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{4 y + 25} = 2 x - 5$

Этап 10.4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 y + 25}}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 10.4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 y + 25}$ в виде ${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 10.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.2.1

Упростим ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 10.4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 10.4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y + 25)}^{1} = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 10.4.3.2.1.2

Упростим.

$4 y + 25 = {(2 x - 5)}^{2}$

Этап 10.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1

Упростим ${(2 x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 5)}^{2}$ в виде $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$4 y + 25 = (2 x - 5) (2 x - 5)$

Этап 10.4.3.3.1.2

Развернем $(2 x - 5) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 25 = 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)$

Этап 10.4.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)$

Этап 10.4.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 10.4.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 10.4.3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 10.4.3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 10.4.3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 10.4.3.3.1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 10.4.3.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5$

Этап 10.4.3.3.1.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

Этап 10.4.3.3.1.3.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 20 x + 25$

Этап 10.4.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$

Этап 10.4.4.1.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1.2.1

Вычтем $25$ из $25$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 0$

Этап 10.4.4.1.2.2

Добавим $4 x^{2} - 20 x$ и $0$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x$

Этап 10.4.4.2

Разделим каждый член $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.1

Разделим каждый член $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Этап 10.4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Этап 10.4.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Этап 10.4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Этап 10.4.4.2.3.1.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 20 x}{4}$

Этап 10.4.4.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 20$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 20 x$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4}$

Этап 10.4.4.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 (1)}$

Этап 10.4.4.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 \cdot 1}$

Этап 10.4.4.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = x^{2} + \frac{- 5 x}{1}$

Этап 10.4.4.2.3.1.2.2.4

Разделим $- 5 x$ на $1$ .

$y = x^{2} - 5 x$

Этап 11

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

Этап 12

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ обратной к $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ и $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ и сравним их.

Этап 12.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем множество значений $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[\frac{5}{2}, \infty)$

Этап 12.2.2

Найдем множество значений $\frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{5}{2}]$

Этап 12.2.3

Найдем объединение $[\frac{5}{2}, \infty), (- \infty, \frac{5}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 12.3

Найдем область определения $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{25 + 4 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$25 + 4 x \geq 0$

Этап 12.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей неравенства.

$4 x \geq - 25$

Этап 12.3.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq - 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq - 25$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

Этап 12.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

Этап 12.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 25}{4}$

Этап 12.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{25}{4}$

Этап 12.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{25}{4}, \infty)$

Этап 12.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ , представляет область определения $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ — обратная к $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

Этап 13