Алгебра Примеры

$y = \log_{5} (2 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{5} (2 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{5} (2 y) = x$ .

$\log_{5} (2 y) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{5} (2 y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y = 5^{x}$ .

$2 y = 5^{x}$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $2 y = 5^{x}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $2 y = 5^{x}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$ обратной к $f (x) = \log_{5} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{5} (2 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x)}}{2}$

Этап 4.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{5^{x}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}))$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}))$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Этап 4.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x \log_{5} (5)$

Этап 4.3.5

Логарифм $5$ по основанию $5$ равен $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Этап 4.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$ — обратная к $f (x) = \log_{5} (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$