Алгебра Примеры

$\log_{\frac{1}{5}} (x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{\frac{1}{5}} (y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ .

$\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{x} = y$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ .

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$

Этап 2.3.2

Упростим ${(\frac{1}{5})}^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1^{x}}{5^{x}}$

Этап 2.3.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{1}{5^{x}}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ обратной к $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x)) = \frac{1}{5^{\log_{\frac{1}{5}} (x)}}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{5^{x}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{5^{x}}) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5^{x}})$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ — обратная к $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$