Алгебра Примеры

$\tan (x - y) = \frac{y}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (\tan (x - y)) = \frac{d}{d y} (\frac{y}{1 + x^{2}})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \tan (y)$ и $g (y) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$\sec^{2} (x - y) \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\sec^{2} (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1 \cdot 1)$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $1 + x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - y \frac{d}{d y} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - y \frac{d}{d y} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (2 u \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (2 x \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 y (x \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 y x x'}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1) = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\sec^{2} (x - y) (x' - 1) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\sec^{2} (x - y) x' + \sec^{2} (x - y) \cdot - 1) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\sec^{2} (x - y)$ .

$(\sec^{2} (x - y) x' - 1 \cdot \sec^{2} (x - y)) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем $- 1 \sec^{2} (x - y)$ в виде $- \sec^{2} (x - y)$ .

$(\sec^{2} (x - y) x' - \sec^{2} (x - y)) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec^{2} (x - y) x' {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.2

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (x - y) x' {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = x^{2} - 2 x y x' + 1$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = x^{2} - 2 x x' y + 1$

Этап 5.2.2.1.2.2

Перенесем $x$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = x^{2} - 2 x' x y + 1$

Этап 5.2.2.1.2.3

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 2 x' x y$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = - 2 x' x y + x^{2} + 1$

Этап 5.3

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены с $x'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Добавим $2 x' x y$ к обеим частям уравнения.

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$x' \sec^{2} (x - y) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.2

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.3.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + x' \sec^{2} (x - y) (2 x^{2}) + x' \sec^{2} (x - y) \cdot 1 - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) \cdot 1 - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.5.2

Умножим $x'$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.6

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.7

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.8.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.8.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.8.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.8.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.8.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.8.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.8.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - \sec^{2} (x - y) (2 x^{2}) - \sec^{2} (x - y) \cdot 1 + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 1 \cdot 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) \cdot 1 + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 1 \cdot 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.2.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.1.3

Изменим порядок множителей в $x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y$ .

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) - x^{4} \sec^{2} (x - y) - 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Этап 5.3.2

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим $x^{4} \sec^{2} (x - y)$ к обеим частям уравнения.

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) - 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.2.2

Добавим $2 x^{2} \sec^{2} (x - y)$ к обеим частям уравнения.

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.2.3

Добавим $\sec^{2} (x - y)$ к обеим частям уравнения.

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $x' x^{4} \sec^{2} (x - y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' (\sec^{2} (x - y)) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' \sec^{2} (x - y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $x'$ из $2 x' x y$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y))$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.3.6

Вынесем множитель $x'$ из $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y))$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.3.7

Вынесем множитель $x'$ из $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$ на $x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

$\frac{x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} = \frac{x^{2}}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$x' = \frac{x^{2} \cdot 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} \sec^{2} (x - y)$ .

$x' = \frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y))}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.1.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y))$ .

$x' = \frac{x^{2} (1 + x^{2} \sec^{2} (x - y))}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{x^{2} (1 + x^{2} \sec^{2} (x - y)) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' = \frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y)) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x' = \frac{x^{2} + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y)) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.2.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} + x^{2} x^{2} \sec^{2} (x - y) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x' = \frac{x^{2} + x^{2 + 2} \sec^{2} (x - y) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.2.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.3

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1 + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 5.3.4.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1 + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1 + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$