Алгебра Примеры

$2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x + 28 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x^{3} - 22 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x^{3}$ .

$- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 22 x$ .

$- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28 = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 18 x^{2} + 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 18 x^{2} + 28 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (9 x^{2}) + 28 = 0$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $28$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 14 = 0$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 2 (9 x^{2})$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14 = 0$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 14) = 0$

Этап 1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 9 x^{2} + 14) = 0$

Этап 1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 9 u + 14) = 0$

Этап 1.6

Разложим $u^{2} + 9 u + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $14$ , а сумма — $9$ .

$2, 7$

Этап 1.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 7)) = 0$

Этап 1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Этап 1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7) = 0$

Этап 1.8

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7) = 0$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7)) = 0$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))$ .

$(x^{2} + 2) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7)) = 0$

Этап 1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7) = 0$

Этап 1.10

Умножим $2$ на $7$ .

$(x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 14) = 0$

Этап 1.11

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14) = 0$

Этап 1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14) = 0$

Этап 1.12.1.1.2

Запишем $- 11$ как $- 4$ плюс $- 7$

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14) = 0$

Этап 1.12.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14) = 0$

Этап 1.12.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14) = 0$

Этап 1.12.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 2) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

Этап 1.12.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$(x^{2} + 2) ((x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Этап 1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 7$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 2, \frac{7}{2}$

Этап 7