Алгебра Примеры

$4 x^{4} - 18 x^{3} + 34 x^{2} - 72 x + 72 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{4} - 18 x^{3} + 34 x^{2} - 72 x + 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 18 x^{3} + 34 x^{2} - 72 x + 72 = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 34 x^{2} - 72 x + 72 = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $34 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (17 x^{2}) - 72 x + 72 = 0$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 72 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (17 x^{2}) + 2 (- 36 x) + 72 = 0$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (17 x^{2}) + 2 (- 36 x) + 2 (36) = 0$

Этап 1.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (17 x^{2}) + 2 (- 36 x) + 2 (36) = 0$

Этап 1.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (17 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2}) + 2 (- 36 x) + 2 (36) = 0$

Этап 1.1.8

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2}) + 2 (- 36 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2} - 36 x) + 2 (36) = 0$

Этап 1.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2} - 36 x) + 2 (36)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 17 x^{2} - 36 x + 36) = 0$

Этап 1.2

Перегруппируем члены.

$2 (- 9 x^{3} - 36 x + 2 x^{4} + 17 x^{2} + 36) = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x^{3} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x^{3}$ .

$2 (- 9 x \cdot x^{2} - 36 x + 2 x^{4} + 17 x^{2} + 36) = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 36 x$ .

$2 (- 9 x \cdot x^{2} - 9 x \cdot 4 + 2 x^{4} + 17 x^{2} + 36) = 0$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $- 9 x$ из $- 9 x (x^{2}) - 9 x (4)$ .

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 x^{4} + 17 x^{2} + 36) = 0$

Этап 1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 36) = 0$

Этап 1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 u^{2} + 17 u + 36) = 0$

Этап 1.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 36 = 72$ , а сумма — $b = 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $17$ из $17 u$ .

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 u^{2} + 17 (u) + 36) = 0$

Этап 1.6.1.2

Запишем $17$ как $8$ плюс $9$

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 u^{2} + (8 + 9) u + 36) = 0$

Этап 1.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 u^{2} + 8 u + 9 u + 36) = 0$

Этап 1.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 u^{2} + 8 u + 9 u + 36) = 0$

Этап 1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + 2 u (u + 4) + 9 (u + 4)) = 0$

Этап 1.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u + 4$ .

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + (u + 4) (2 u + 9)) = 0$

Этап 1.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 (- 9 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (2 x^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.8

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $- 9 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (2 x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $- 9 x (x^{2} + 4)$ .

$2 ((x^{2} + 4) (- 9 x) + (x^{2} + 4) (2 x^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) (- 9 x) + (x^{2} + 4) (2 x^{2} + 9)$ .

$2 ((x^{2} + 4) (- 9 x + 2 x^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.9

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$2 ((x^{2} + 4) (- 9 u + 2 u^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Изменим порядок членов.

$2 ((x^{2} + 4) (2 u^{2} - 9 u + 9)) = 0$

Этап 1.10.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 u$ .

$2 ((x^{2} + 4) (2 u^{2} - 9 u + 9)) = 0$

Этап 1.10.2.2

Запишем $- 9$ как $- 3$ плюс $- 6$

$2 ((x^{2} + 4) (2 u^{2} + (- 3 - 6) u + 9)) = 0$

Этап 1.10.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x^{2} + 4) (2 u^{2} - 3 u - 6 u + 9)) = 0$

Этап 1.10.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((x^{2} + 4) ((2 u^{2} - 3 u) - 6 u + 9)) = 0$

Этап 1.10.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 ((x^{2} + 4) (u (2 u - 3) - 3 (2 u - 3))) = 0$

Этап 1.10.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 3$ .

$2 ((x^{2} + 4) ((2 u - 3) (u - 3))) = 0$

Этап 1.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 ((x^{2} + 4) ((2 x - 3) (x - 3))) = 0$

Этап 1.11.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 ((x^{2} + 4) (2 x - 3) (x - 3)) = 0$

Этап 1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x^{2} + 4) (2 x - 3) (x - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 3.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 3.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 4

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x^{2} + 4) (2 x - 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 2 i, - 2 i, \frac{3}{2}, 3$

Этап 7