Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(\sqrt{2} + \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}$

Этап 3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{20} + \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 5.2

Возведем $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} {(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1}}{- 8}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1 + 1}}{- 8}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}}{- 8}$

Этап 6

Перепишем ${(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}$ в виде $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 7

Развернем $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.5

Умножим $\sqrt{2} (- \sqrt{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.5.2

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{2 - \sqrt{20} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.6

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.9

Умножим $- \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.9.2

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{20} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.10

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Этап 8.1.13

Умножим $- \sqrt{10} (- \sqrt{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.13.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 1 \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Этап 8.1.13.2

Умножим $\sqrt{10}$ на $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Этап 8.1.13.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}{- 8}$

Этап 8.1.13.4

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}{- 8}$

Этап 8.1.13.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{- 8}$

Этап 8.1.13.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{2}}{- 8}$

Этап 8.1.14

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 8}$

Этап 8.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 8}$

Этап 8.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Этап 8.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Этап 8.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{1}}{- 8}$

Этап 8.1.14.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10}{- 8}$

Этап 8.2

Добавим $2$ и $10$ .

$\frac{12 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5}}{- 8}$

Этап 8.3

Вычтем $2 \sqrt{5}$ из $- 2 \sqrt{5}$ .

$\frac{12 - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Этап 9

Сократим общий множитель $12 - 4 \sqrt{5}$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 (3) - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (3) + 4 (- \sqrt{5})}{- 8}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (3) + 4 (- \sqrt{5})$ .

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{- 8}$

Этап 9.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Этап 9.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$