Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{y^{4}} - 7$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$ .

$\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$

Этап 3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{4}, 1, 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{4}$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ умножим на $y^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ на $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x y^{4} + 7 y^{4}$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{4} + 7 y^{4} = 1$ .

$x y^{4} + 7 y^{4} = 1$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y^{4}$ из $x y^{4} + 7 y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $x y^{4}$ .

$y^{4} x + 7 y^{4} = 1$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y^{4}$ из $7 y^{4}$ .

$y^{4} x + y^{4} \cdot 7 = 1$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y^{4}$ из $y^{4} x + y^{4} \cdot 7$ .

$y^{4} (x + 7) = 1$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y^{4} (x + 7) = 1$ на $x + 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y^{4} (x + 7) = 1$ на $x + 7$ .

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y^{4}$ на $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{x + 7}$

Этап 3.5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$

Этап 3.5.5

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Этап 3.5.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Этап 3.5.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Этап 3.5.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{\sqrt[4]{x + 7} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Этап 3.5.5.4.2

Возведем $\sqrt[4]{x + 7}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Этап 3.5.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1 + 3}}$

Этап 3.5.5.4.4

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{4}}$

Этап 3.5.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[4]{x + 7}}^{4}$ в виде $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{({(x + 7)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 3.5.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 3.5.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Этап 3.5.5.4.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Этап 3.5.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{1}}$

Этап 3.5.5.4.5.5

Упростим.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{x + 7}$

Этап 3.5.5.5

Перепишем ${\sqrt[4]{x + 7}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Этап 3.5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Этап 3.5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Этап 3.5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- 7, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

${(x + 7)}^{3} \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{{(x + 7)}^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x + 7 \geq 0$

Этап 5.3.2.3

Вычтем $7$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 7$

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 7 = 0$

Этап 5.3.4

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 5.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- 7, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{4} = 0$

Этап 5.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.5

Найдем множество значений обратной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Найдем множество значений $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Интервальное представление:

$(1, \infty)$

Этап 5.5.2

Найдем множество значений $- \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1)$

Этап 5.5.3

Найдем объединение $(1, \infty), (- \infty, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5.6

Так как множество значений $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ не совпадает с областью определения $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ не является обратной к $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

Обратная не существует

Этап 6