Алгебра Примеры

$f (x) = x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 28 x^{2} + 75$ к $0$ .

$x^{4} - 28 x^{2} + 75 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 28 u + 75 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Разложим $u^{2} - 28 u + 75$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $75$ , а сумма — $- 28$ .

$- 25, - 3$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 25) (u - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 25 = 0$

$u - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $u - 25$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $u - 25$ к $0$ .

$u - 25 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$u = 25$

Этап 2.5

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 25) (u - 3) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$u = 25$ (кратно $1$ )

$u = 3$ (кратно $1$ )

Этап 2.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 25$

${(x^{2})}^{1} = 3$

Этап 2.8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 25$

Этап 2.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 2.9.2

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 2.9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 2.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 2.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 2.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 2.9.4

Кратность корня означает, сколько раз корень встречается. Например, у множителя ${(x + 5)}^{3}$ был бы корень $x = - 5$ кратности $3$ .

$x = 5$ (кратно $1$ )

$x = - 5$ (кратно $1$ )

$x = 5$ (кратно $1$ )

$x = - 5$ (кратно $1$ )

Этап 2.10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 3$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 3$

Этап 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2.11.4

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

Этап 2.12

Решением $x^{4} - 28 x^{2} + 75 = 0$ является $x = 5, - 5, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$x = 5, - 5, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 5, - 5, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 5, - 5, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Этап 4