Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x + 20}{x - 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y + 20}{y - 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y + 20}{y - 5}) (y - 5)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 5 x = (\frac{y + 20}{y - 5}) (y - 5)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 5 x = \frac{y + 20}{y - 5} (y - 5)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 5 x = y + 20$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 5 x - y = 20$

Этап 3.4.2

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = 20 + 5 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = 20 + 5 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 20 + 5 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 20 + 5 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = 20 + 5 x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 20 + 5 x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{20}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{20}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{20}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{20 + 5 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.3.2

Вынесем множитель $5$ из $20 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$y = \frac{5 \cdot 4 + 5 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.3.2.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 4 + 5 x$ .

$y = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (4 + \frac{x + 20}{x - 5})}{(\frac{x + 20}{x - 5}) - 1}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (4 + \frac{x + 20}{x - 5})}{(\frac{x + 20}{x - 5}) - 1}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 (x - 5)}{x - 5} + \frac{x + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 (x - 5) + x + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x + 4 (x - 5) + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{x + 4 (x - 5) + 20}{x - 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x + 4 x + 4 \cdot - 5 + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4.4.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x + 4 x - 20 + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4.4.3

Добавим $x$ и $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x - 20 + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4.4.4

Добавим $- 20$ и $20$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x + 0}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.4.4.5

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Этап 5.2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.5.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} + \frac{- (x - 5)}{x - 5}}$

Этап 5.2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20 - (x - 5)}{x - 5}}$

Этап 5.2.5.4

Перепишем $\frac{x + 20 - (x - 5)}{x - 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20 - x + 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.5.4.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20 - x + 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.5.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{0 + 20 + 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.5.4.4

Добавим $0$ и $20$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{20 + 5}{x - 5}}$

Этап 5.2.5.4.5

Добавим $20$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{25}{x - 5}}$

Этап 5.2.6

Объединим $5$ и $\frac{5 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (5 x)}{x - 5}}{\frac{25}{x - 5}}$

Этап 5.2.7

Умножим $5$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{\frac{25 x}{x - 5}}{\frac{25}{x - 5}}$

Этап 5.2.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{25 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{25}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $25$ из $25 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{25 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{25}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{25 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{25}$

Этап 5.2.9.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Этап 5.2.10.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) + 20}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) + 20$ и $(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $\frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) + 20}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) + 5 (4)}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \frac{4 + x}{x - 1} + 5 (4)$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $\frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) - 5}$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) + 5 (- 1)}$

Этап 5.3.3.4.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \frac{4 + x}{x - 1} + 5 (- 1)$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1} - 1)}$

Этап 5.3.3.4.4

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1} - 1)}$

Этап 5.3.3.4.5

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{\frac{4 + x}{x - 1} + 4}{\frac{4 + x}{x - 1} - 1}$

Этап 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $\frac{\frac{4 + x}{x - 1} + 4}{\frac{4 + x}{x - 1} - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{4 + x}{x - 1} + 4}{\frac{4 + x}{x - 1} - 1}$

Этап 5.3.4.2

Объединим.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1} - 1)}$

Этап 5.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + (x - 1) \cdot 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + x \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.7.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + 4 \cdot x - 1 \cdot 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + 4 \cdot x - 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.7.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{x + 4 x + 0}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.7.5

Добавим $x + 4 x$ и $0$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{x + 4 x}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.7.6

Добавим $x$ и $4 x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.3.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.3.8.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.3.8.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x - 1 \cdot x + 1}$

Этап 5.3.8.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x - x + 1}$

Этап 5.3.8.5

Добавим $4$ и $1$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - x + 5}$

Этап 5.3.8.6

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Этап 5.3.8.7

Добавим $0$ и $5$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.9.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$