Алгебра Примеры

$y = \frac{4^{x} + 8}{4}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4^{y} + 8}{4}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4^{y} + 8}{4} = x$ .

$\frac{4^{y} + 8}{4} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{4^{y} + 8}{4} = 4 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{4^{y} + 8}{4} = 4 x$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$4^{y} + 8 = 4 x$

Этап 2.4

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$4^{y} = 4 x - 8$

Этап 2.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{y}) = \ln (4 x - 8)$

Этап 2.6

Развернем $\ln (4^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (4) = \ln (4 x - 8)$

Этап 2.7

Разделим каждый член $y \ln (4) = \ln (4 x - 8)$ на $\ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $y \ln (4) = \ln (4 x - 8)$ на $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Этап 2.7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$ обратной к $f (x) = \frac{4^{x} + 8}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4 (\frac{4^{x} + 8}{4}) - 8)}{\ln (4)}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4 (\frac{4^{x} + 8}{4}) - 8)}{\ln (4)}$

Этап 4.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4^{x} + 8 - 8)}{\ln (4)}$

Этап 4.2.3.2

Объединим противоположные члены в $4^{x} + 8 - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4^{x} + 0)}{\ln (4)}$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $4^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Этап 4.2.4

Развернем $\ln (4^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 4.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}} + 8}{4}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (4 x - 8)} + 8}{4}$

Этап 4.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x - 8 + 8}{4}$

Этап 4.3.3.3

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Этап 4.3.3.4

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$ — обратная к $f (x) = \frac{4^{x} + 8}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$