Алгебра Примеры

$f (x) = - 12 x^{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 12 x^{3}$ в виде уравнения.

$y = - 12 x^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 12 y^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 12 y^{3} = x$ .

$- 12 y^{3} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- 12 y^{3} = x$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- 12 y^{3} = x$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 12}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{x}{12}$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $- \frac{x}{12}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{12}}$

Этап 3.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}}$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

Этап 3.4.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

Этап 3.4.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x}{12}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$

Этап 3.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}})$

Этап 3.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Этап 3.4.6.2

Возведем $\sqrt[3]{12}$ в степень $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Этап 3.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{3}}$

Этап 3.4.6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ в виде $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{12}$ в виде $12^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{1}}$

Этап 3.4.6.5.5

Найдем экспоненту.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12}$

Этап 3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Перепишем ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{12^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{12^{2}}}{12}$

Этап 3.4.7.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{144}}{12}$

Этап 3.4.7.3

Перепишем $144$ в виде $2^{3} \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.3.1

Вынесем множитель $8$ из $144$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{8 (18)}}{12}$

Этап 3.4.7.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{12}$

Этап 3.4.7.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 2 \sqrt[3]{18}}{12}$

Этап 3.4.7.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{12}$

Этап 3.4.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{x \cdot 18}$ .

$y = - \frac{2 (\sqrt[3]{x \cdot 18})}{12}$

Этап 3.4.8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.4.8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.4.8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$

Этап 3.4.8.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ обратной к $f (x) = - 12 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 12 x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{18 (- 12 x^{3})}}{6}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $- 12$ на $18$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 216 x^{3}}}{6}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $- 216 x^{3}$ в виде ${(- 6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 6 x)}^{3}}}{6}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- 6 x}{6}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 (1)}$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Этап 5.2.4.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 {(- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3}$

Этап 5.3.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3})$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}}))$

Этап 5.3.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}})$

Этап 5.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{18 x}}^{3}$ в виде $18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{18 x}$ в виде ${(18 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{({(18 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}})$

Этап 5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}})$

Этап 5.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

Этап 5.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

Этап 5.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

Этап 5.3.5.5

Упростим.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

Этап 5.3.6

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{216})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{18 x}{216}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 \frac{- 18 x}{216}$

Этап 5.3.7.2

Вынесем множитель $12$ из $- 12$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 (- 1) (\frac{- 18 x}{216})$

Этап 5.3.7.3

Вынесем множитель $12$ из $216$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

Этап 5.3.7.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

Этап 5.3.7.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- 18 x}{18}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $- 18$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем множитель $18$ из $- 18 x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18}$

Этап 5.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1

Вынесем множитель $18$ из $18$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 (1)}$

Этап 5.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 \cdot 1}$

Этап 5.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Этап 5.3.8.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 (- x)$

Этап 5.3.9

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 1 x$

Этап 5.3.9.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ — обратная к $f (x) = - 12 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$