Алгебра Примеры

$f (x) = 5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$

Этап 1

Приравняем $5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$ к $0$ .

$5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 5$

Этап 2.1.3

Подставим $- 5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 5$ в многочлен.

$5 {(- 5)}^{3} + 28 {(- 5)}^{2} + 16 \cdot - 5 + 5$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$5 \cdot - 125 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 \cdot - 5 + 5$

Этап 2.1.3.3

Умножим $5$ на $- 125$ .

$- 625 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 \cdot - 5 + 5$

Этап 2.1.3.4

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- 625 + 28 \cdot 25 + 16 \cdot - 5 + 5$

Этап 2.1.3.5

Умножим $28$ на $25$ .

$- 625 + 700 + 16 \cdot - 5 + 5$

Этап 2.1.3.6

Добавим $- 625$ и $700$ .

$75 + 16 \cdot - 5 + 5$

Этап 2.1.3.7

Умножим $16$ на $- 5$ .

$75 - 80 + 5$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $80$ из $75$ .

$- 5 + 5$

Этап 2.1.3.9

Добавим $- 5$ и $5$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 5$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5}{x + 5}$

Этап 2.1.5

Разделим $5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$ на $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$5 x^{3}$

$28 x^{2}$

$16 x$

$5$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			+	$5 x^{3}$	+	$25 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} + 25 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 15 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$x$	+	$5$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$x$	+	$5$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$x$	+	$5$
							+	$x$	+	$5$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 5$ .

				$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$28 x^{2}$	+	$16 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$5 x^{2} + 3 x + 1$

Этап 2.1.6

Запишем $5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$ в виде набора множителей.

$(x + 5) (5 x^{2} + 3 x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$5 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.4

Приравняем $5 x^{2} + 3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $5 x^{2} + 3 x + 1$ к $0$ .

$5 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $5 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 5$ , $b = 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 20$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $20$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (11)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (5 x^{2} + 3 x + 1) = 0$ верно.

$x = - 5, - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Этап 3