Алгебра Примеры

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) = \log_{2} (x)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x) = 0$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3}) - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 \cdot - 4$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $- 2 \log_{2} (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - \log_{2} (x^{2}) = 0$

Этап 4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}}{x^{2}}) = 0$

Этап 4.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = 0$

Этап 4.1.4

Объединим.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x \cdot x^{2}}) = 0$

Этап 4.1.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1} x^{2}}) = 0$

Этап 4.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1 + 2}}) = 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{3}}) = 0$

Этап 4.1.6

Умножим $2 (x^{3} - 4)$ на $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$

Этап 5

Перепишем $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}$

Этап 6

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$2 (x^{3} - 4) = 2^{0} (x^{3})$

Этап 7

Упростим $2^{0} (x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = 1 x^{3}$

Этап 7.2

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = x^{3}$

Этап 8

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 (x^{3} - 4) - x^{3} = 0$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 4 - x^{3} = 0$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 x^{3} - 8 - x^{3} = 0$

Этап 8.3

Вычтем $x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Этап 9.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Этап 9.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Этап 10

Упростим $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Развернем $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4 = 0$

Этап 10.2.1.6

Умножим $- 2$ на $4$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Этап 10.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{3} + 4 x + 0 - 4 x - 8 = 0$

Этап 10.2.2.2

Добавим $x^{3} + 4 x$ и $0$ .

$x^{3} + 4 x - 4 x - 8 = 0$

Этап 10.2.2.3

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$x^{3} + 0 - 8 = 0$

Этап 10.2.2.4

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Этап 11

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 8$

Этап 12

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 8 = 0$

Этап 13

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Этап 13.2

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Этап 13.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Этап 14

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 15

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 15.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 16

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 16.2

Решим $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 16.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 16.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 16.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 17

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$