Алгебра Примеры

$x^{2} + 3 x - 21 < 0$

Этап 1

Решим $- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 3 x - 21 = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = - 21$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 21)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 21$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Добавим $9$ и $84$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 21$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Добавим $9$ и $84$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{93}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{93})}{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{93})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{93})}{2}$

Этап 1.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 21$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.3

Добавим $9$ и $84$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.6.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{93}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{93})}{2}$

Этап 1.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (\sqrt{93})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{93})}{2}$

Этап 1.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.7

Объединим решения.

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

$- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$

$x > - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$

Этап 1.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 9$

Этап 1.9.1.2

Заменим $x$ на $- 9$ в исходном неравенстве.

${(- 9)}^{2} + 3 (- 9) - 21 < 0$

Этап 1.9.1.3

Левая часть $33$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 3 (0) - 21 < 0$

Этап 1.9.2.3

Левая часть $- 21$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.9.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 1.9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} + 3 (6) - 21 < 0$

Этап 1.9.3.3

Левая часть $33$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$ Ложь

$- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ Истина

$x > - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ Ложь

$x < - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$ Ложь

$- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ Истина

$x > - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ Ложь

Этап 1.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$

Этап 2

Используем неравенство $- \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}$ для построения формы записи множества.

${x | - \frac{3 + \sqrt{93}}{2} < x < - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}}$

Этап 3