Алгебра Примеры

$y = \frac{12}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{12}{11}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$\frac{12}{11} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 8

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 9

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{11} (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Этап 10

Умножим $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{12}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 12}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{24}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 11.2

Умножим $11$ на $3$ .

$\frac{24}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 12

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$\frac{3 (8)}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $3$ из $33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (8)}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 8}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 14

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{8}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{8}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Этап 16

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{8}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Этап 17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{8}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Этап 17.2

Объединим $2$ и $\frac{8}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 17.3

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 17.4

Объединим $\frac{16}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{16 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$