Алгебра Примеры

$y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (2 x)$ и $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 1 \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 6

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 7

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 12.2

Перенесем $2$ влево от $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.1.2

Умножим $2 \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.2.1

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.1.2.2

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 {\cos (2 x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.5

Переставляем члены.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cdot 1}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.5

Вынесем множитель $2$ из $2 + 2 \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.6

Сократим общий множитель $1 + \cos (2 x)$ и ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Вынесем множитель $1 + \cos (2 x)$ из $2 (1 + \cos (2 x))$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Этап 13.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Вынесем множитель $1 + \cos (2 x)$ из ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

Этап 13.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

Этап 13.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1 + \cos (2 x)}$