Алгебра Примеры

$\ln (x^{3} \sin^{2} (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{3} \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.3

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.4

Объединим $\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ и $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.6

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{3} \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.7

Переведем $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ в $2 \cot (x)$ .

$2 \cot (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Этап 6.2.8

Объединим $\sin^{2} (x)$ и $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} (3 x^{2})$

Этап 6.2.9

Объединим $3$ и $\frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} x^{2}$

Этап 6.2.10

Объединим $\frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ и $x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Этап 6.2.11

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Сократим общий множитель.

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Этап 6.2.11.2

Перепишем это выражение.

$2 \cot (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Этап 6.2.12

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Этап 6.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Этап 6.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Этап 6.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \cot (x) + \frac{3}{x}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{x} + 2 \cot (x)$