Алгебра Примеры

$\arctan (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 - x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}])$

Этап 2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x^{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $1 - x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 9

Добавим $- x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 10

Умножим $\frac{2}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}}$ на $\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим правило умножения к $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 11.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{2 (1 + x^{2})}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 11.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 11.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2 + 2 x^{2}}{(1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}) {(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 11.6

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}})}$

Этап 11.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}})}$

Этап 11.7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}})}$

Этап 11.7.3

Применим правило умножения к $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.8

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.9.2

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.9.3

Применим правило умножения к $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.9.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} + \frac{4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Этап 11.9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.1

Перепишем ${(1 + x)}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x) (1 + x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.2

Развернем $(1 + x) (1 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 (1 + x) + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x \cdot x) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + x + x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) {(1 - x)}^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.4

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) ((1 - x) (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.5

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 (1 - x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - x (- x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.6.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + 1 x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - x - x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.6.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2}) + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.7

Развернем $(1 + 2 x + x^{2}) (1 - 2 x + x^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.8

Объединим противоположные члены в $1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + x^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.8.1

Изменим порядок множителей в членах $2 x \cdot x^{2}$ и $x^{2} (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 2 x^{2} x + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.8.2

Вычтем $2 x^{2} x$ из $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + 0 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.8.3

Добавим $1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.9.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + 1 (- 2 x) + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.2

Умножим $- 2 x$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + 1 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.9.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.8

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.9

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.9.9.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.9.9.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.10

Объединим противоположные члены в $1 - 2 x + x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.10.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} + 0 - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.10.2

Добавим $1 + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.11

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 3 x^{2} + x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.12

Добавим $- 3 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 - 2 x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.13

Добавим $- 2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{1 + x^{4} + 2 x^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.14

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.15

Перепишем $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.15.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.15.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.15.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.6.15.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.15.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 11.9.6.15.3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.15.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(u + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.6.15.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.7.1

Объединим $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ и ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Этап 11.9.7.2

Объединим $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ и ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.8

Сократим выражение $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.9

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Этап 11.9.9.2

Разделим ${(x^{2} + 1)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 11.9.10

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Этап 11.9.11

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}$

Этап 11.9.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}$

Этап 11.9.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Этап 11.9.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.12.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Этап 11.9.12.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Этап 11.9.12.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}$

Этап 11.9.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}$

Этап 11.9.12.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}$

Этап 11.9.12.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$

Этап 11.9.13

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

Этап 11.9.14

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

Этап 11.9.15

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.15.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Этап 11.9.15.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 11.9.15.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 11.9.15.4

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Этап 11.9.16

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 11.10

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ и ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $2 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 11.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Этап 11.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Этап 11.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x^{2} + 1}$