Алгебра Примеры

$g (T) = t^{3} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$t^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{7}{2}}$ и $g (t) = t^{4} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{7}{2}$ и ${(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$t^{3} (\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ и $t^{3}$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 8

По правилу суммы производная $t^{4} + 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 10

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + 0) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $4 t^{3}$ и $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3}) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 11.2

Объединим $4$ и $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2}$ .

$\frac{4 (7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 11.3

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 11.4

Объединим $\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2}$ и $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}) t^{3}}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 12

Умножим $t^{3}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} (t^{3} t^{3}))}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3 + 3})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 12.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 13

Вынесем множитель $2$ из $28 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ .

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 (1)} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 \cdot 1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}}{1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 14.4

Разделим $14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ на $1$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} (3 t^{2})$

Этап 16

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем $3$ влево от ${(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + 3 \cdot {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} t^{2}$

Этап 16.2

Изменим порядок членов.

$14 t^{6} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} + 3 t^{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$