Алгебра Примеры

$z = \sqrt{9 x y}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d y} [\sqrt{9 x y}]$ в виде $\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9 x y$ в виде $3^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} x y}]$

Этап 1.1.2

Добавим круглые скобки.

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} (x y)}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 8.3

Перенесем ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ и $3$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 9

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [y])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $x$ и $\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 10.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 12

Умножим $\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $x y$ .

$\frac{3 x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Этап 13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$