Алгебра Примеры

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

Этап 1

Приведем каждое уравнение плоскости в стандартную форму.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Этап 1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Этап 1.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Этап 1.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $y$ и $\frac{8}{3}$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

Этап 1.4.2

Перенесем $8$ влево от $y$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Этап 1.5

Вычтем $4$ из $9$ .

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Этап 2

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку $(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ , с плоскостью $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости $P_{1}$ и плоскости $P_{2}$ , где векторы нормали — это $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости $P_{2}$ так, чтобы $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для $t$

4. Используя значение $t$ , решим параметрические уравнения $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ относительно $t$ , чтобы найти пересечение $(x, y, z)$ .

Этап 3

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$P_{1}$ представляет собой $- y - x = 5$ . Найдем вектор нормали $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

Этап 3.2

$P_{2}$ представляет собой $x - \frac{8 y}{3} = 0$ . Найдем вектор нормали $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

Этап 3.3

Вычислим скалярное произведение $n_{1}$ и $n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений $x$ , $y$ и $z$ в векторах нормали.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Этап 3.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Избавимся от скобок.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 1 (- \frac{8}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.2.2

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

Этап 3.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Этап 3.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Этап 3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

Этап 3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

Этап 3.4.6.2

Добавим $- 3$ и $8$ .

$\frac{5}{3} + 0$

Этап 3.4.7

Добавим $\frac{5}{3}$ и $0$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 4

Затем составим набор параметрических уравнений $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ , используя начало координат $(0, 0, 0)$ для точки $(p, q, r)$ и значения из вектора нормали $\frac{5}{3}$ для получения значений $a$ , $b$ и $c$ . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную $P_{1}$ $- y - x = 5$ .

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Этап 5

Подставим выражение для $x$ , $y$ и $z$ в уравнение для $P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ .

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Этап 6

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим противоположные члены в $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вычтем $1 \cdot t$ из $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $1 \cdot t$ из $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Этап 6.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.2.4

Умножим $- - \frac{8 t}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.2.4.2

Умножим $\frac{8 t}{3}$ на $1$ .

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.3

Чтобы записать $- t$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Объединим $- t$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Вынесем множитель $t$ из $- t \cdot 3 + 8 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1.1

Вынесем множитель $t$ из $- t \cdot 3$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

Этап 6.1.5.1.2

Вынесем множитель $t$ из $8 t$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

Этап 6.1.5.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

Этап 6.1.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

Этап 6.1.5.3

Добавим $- 3$ и $8$ .

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

Этап 6.1.6

Перенесем $5$ влево от $t$ .

$\frac{5 t}{3} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$5 t = 0$

Этап 6.3

Разделим каждый член $5 t = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $5 t = 0$ на $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{0}{5}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$t = 0$

Этап 7

Решим параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ , используя значение $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 0 - 1 \cdot 0$

Этап 7.1.2

Вычтем $0$ из $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $0$ из $0$ .

$y = 0$

Этап 7.3

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Этап 7.3.2

Упростим $0 + 0 \cdot (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $0$ на $0$ .

$z = 0 + 0$

Этап 7.3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$z = 0$

Этап 7.4

Решенные параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Этап 8

Использование значений, вычисленных для $x$ , $y$ и $z$ , найденная точка пересечения: $(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$