Алгебра Примеры

$x^{2} + 4 x + 2 y + 10 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x + 2 y + 10 = - x^{2}$

Этап 1.1.1.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y + 10 = - x^{2} - 4 x$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2 y = - x^{2} - 4 x - 10$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 y = - x^{2} - 4 x - 10$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 y = - x^{2} - 4 x - 10$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (1)} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{- 10}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Разделим $- 10$ на $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 5$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 5$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 2$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 5 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{4}{\frac{- 4}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{- 2}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $4$ на $- 2$ .

$e = - 5 - - 2$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$e = - 5 + 2$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 5$ и $2$ .

$e = - 3$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3$ .

$- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - 3$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - 3$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 2, - 3)$

Этап 4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 4.3.3

Разделим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, - \frac{7}{2})$

Этап 6