Алгебра Примеры

$y = 4 x^{2} + \frac{1}{2} x + 3$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = 4 x^{2} + \frac{x}{2} + 3$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + \frac{x}{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 3$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.3.2.3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$d = \frac{1}{16}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$e = 3 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$e = 3 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 3 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 3 - \frac{\frac{1}{4}}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 3 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16})$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{16}$ .

$e = 3 - \frac{1}{4 \cdot 16}$

Этап 1.2.4.2.1.4.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 3 - \frac{1}{64}$

Этап 1.2.4.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{64}{64}$ .

$e = 3 \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}$

Этап 1.2.4.2.3

Объединим $3$ и $\frac{64}{64}$ .

$e = \frac{3 \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}$

Этап 1.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{3 \cdot 64 - 1}{64}$

Этап 1.2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Умножим $3$ на $64$ .

$e = \frac{192 - 1}{64}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Вычтем $1$ из $192$ .

$e = \frac{191}{64}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + \frac{1}{16})}^{2} + \frac{191}{64}$ .

$4 {(x + \frac{1}{16})}^{2} + \frac{191}{64}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 4 {(x + \frac{1}{16})}^{2} + \frac{191}{64}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 4$

$h = - \frac{1}{16}$

$k = \frac{191}{64}$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{16}, \frac{191}{64})$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{16}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{1}{16}, \frac{195}{64})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{1}{16}$

Этап 8